1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
$Delta _{1}$: x - 2y + 3 = 0,
$Delta _{2}$: 3x - y - 1 = 0.
a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b. Giải hệ $left{begin{matrix}x-2y+3=0 3x-y-1=0end{matrix}right.$
c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ với nghiệm của hệ phương trình trên.
Hướng dẫn giải:
a. Thay tọa độ điểm M vào hai phương trình $Delta _{1}$, $Delta _{2}$ đều thỏa mãn. Nên điểm M thuộc cả hai đường thẳng trên.
b. $left{begin{matrix}x-2y+3=0 3x-y-1=0end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix}x=1 y=2end{matrix}right.$
Hệ phương trình có nghiệm x = 1, y = 2.
c. Tọa độ giao điểm của $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ trùng với nghiệm của hệ phương trình trên.
Luyện tập 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a. $Delta _{1}$: x + 4y - 3 = 0 và $Delta _{2}$: x - 4y - 3 = 0;
b. $Delta _{1}$: x + 2y - $sqrt{5}$ = 0 và $Delta _{2}$: 2x + 4y - $3sqrt{5}$ = 0.
Hướng dẫn giải:
a. $Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $overrightarrow{n_{1}}(1; 4)$
$Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $overrightarrow{n_{2}}(1; -4)$
Ta có $overrightarrow{n_{1}}$ và $overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương, nên $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ cắt nhau.
b. $Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $overrightarrow{n_{1}}(1; 2)$
$Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $overrightarrow{n_{2}}(2; 4)$
Ta có $overrightarrow{n_{1}}$ và $overrightarrow{n_{2}}$ cùng phương nên $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ song song hoặc trùng nhau.
Ta có: x + 2y - $sqrt{5}$ = 0 $Leftrightarrow $ 2x + 4y - $2sqrt{5}$ = 0
2x + 4y - $2sqrt{5}$ $neq $ 2x + 4y - $3sqrt{5}$ nên $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ song song.
2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 2: Hai đường thẳng $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Hướng dẫn giải:
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, nên bốn góc tạo nên 2 cặp góc đối đỉnh bẳng nhau.
Hoạt động 3: Cho hai đường thẳng cắt nhau $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ tương ứng có các vecto pháp tuyến
$overrightarrow{n_{1}}$, $overrightarrow{n_{2}}$. Gọi $varphi $ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a. Góc $varphi $ và góc ($overrightarrow{n_{1}},overrightarrow{n_{2}}$).
b. cos$varphi $ và cos($overrightarrow{n_{1}},overrightarrow{n_{2}}$).
Hướng dẫn giải:
a. Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp có $varphi $ = ($overrightarrow{n_{1}},overrightarrow{n_{2}}$).
(tính chất: trong tứ giác nội tiếp, góc trong bằng góc ngoài đối đỉnh với nó).
b. Theo a: $varphi $ = ($overrightarrow{n_{1}},overrightarrow{n_{2}}$)
Suy ra: cos$varphi $ = cos($overrightarrow{n_{1}},overrightarrow{n_{2}}$).
Luyện tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:
$Delta _{1}$: x + 3y + 2 = 0 và $Delta _{2}$: y = 3x + 1
Hướng dẫn giải:
$Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n_{1}}(1; 3)$
$Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n_{2}}(3; -1)$
Gọi $varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$, ta có:
$cosvarphi =left | cos(overrightarrow{n_{1}},overrightarrow{n_{2}})right |=frac{|1.3-1.3|}{sqrt{1^{2}+3^{2}}.sqrt{3^{2}+1^{2}}}=0$
Do đó góc giữa $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ là $varphi =90^{o}$.
Luyện tập 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: $Delta _{1}:left{begin{matrix}x=2+t y=1-2tend{matrix}right.$ và $Delta _{2}:left{begin{matrix}x=1+t y=5+3tend{matrix}right.$
Hướng dẫn giải:
$Delta _{1}$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{u_{1}}(1; -2)$
$Delta _{2}$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{u_{2}}(1; 3)$
Gọi $varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$, ta có:
$cosvarphi =left | cos(overrightarrow{u_{1}},overrightarrow{u_{2}})right |=frac{|1.1-2.3|}{sqrt{1^{2}+2^{2}}.sqrt{1^{2}+3^{2}}}=frac{sqrt{2}}{2}$
Do đó góc giữa $Delta _{1}$ và $Delta _{2}$ là $varphi =45^{o}$.
Xét đường thẳng $Delta$ bất kì cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng $Delta $ thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu $alpha _{Delta }$ là số đo của góc $widehat{xAz}$. Thực hành luyện tập sau đây, ta thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc.
Luyện tập 4: Cho đường thẳng $Delta$: y = ax + b, với a $neq $ 0.
a. Chứng minh rằng $Delta$ cắt trục hoành.
b. Lập phương trình đường thẳng $Delta_{0}$ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với $Delta$.
c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $alpha _{Delta }$ và $alpha _{Delta_{0} }$.
d. Gọi M là giao điểm của $Delta_{0}$ với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tan$alpha _{Delta }$=a.
Hướng dẫn giải:
a. $Delta$ có vecto pháp tuyển: $overrightarrow{n}(a; -1)$
Trục hoành Ox có vecto pháp tuyến: $overrightarrow{n_{2}}(0; 1)$
Do $overrightarrow{n}(a; -1)$ và $overrightarrow{n_{2}}(0; 1)$ không cùng phương nên $Delta$ cắt trục hoành.
b. Đường thẳng $Delta_{0}$ song song với $Delta$ nên $Delta_{0}$ có dạng: y = ax + m, với m là số thực.
Do $Delta_{0}$ đi qua O(0; 0) nên m = 0.
$Rightarrow$ phương trình đường thẳng $Delta_{0}$: y = ax.
c. Do đường thẳng $Delta_{0}$ song song với $Delta$ nên $alpha _{Delta }$ = $alpha _{Delta_{0} }$. (hai góc ở vị trí đồng vị).
d. Gọi tọa độ điểm M(x0 ; y0).
Do M thuộc $Delta_{0}$ nên y0 = a.x0
Có tan$alpha _{Delta }$= tan $alpha _{Delta_{0} }$ = tan$widehat{MOx}$ = $frac{y_{0}}{x_{0}}$ = a.
Vậy tan$alpha _{Delta }$=a.
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 4: Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng $Delta$: ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến $overrightarrow{n}(a; b)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên $Delta$
a. Chứng minh rằng: $left | overrightarrow{n}.overrightarrow{HM} right |=sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM$
b. Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: $overrightarrow{n}.overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c$
c. Chứng minh rằng HM = $frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Hướng dẫn giải:
a. Do $overrightarrow{n}$ và $overrightarrow{HM} $ có cùng phương nên $overrightarrow{n}.overrightarrow{HM}$ = $|overrightarrow{n}|.|overrightarrow{HM}|.cos0^{o}=|overrightarrow{n}|.|overrightarrow{HM}|$
Hoặc: $overrightarrow{n}.overrightarrow{HM}$ = $|overrightarrow{n}|.|overrightarrow{HM}|.cos180^{o}=-|overrightarrow{n}|.|overrightarrow{HM}|$
Suy ra: $left | overrightarrow{n}.overrightarrow{HM} right | = |overrightarrow{n}|.|overrightarrow{HM}|$ = $sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM$
b. $overrightarrow{HM}(x_{0}-x_{1}; y_{0}-y_{1}) $
Ta có: $overrightarrow{n}.overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})= a.x_{0} + b.y_{0} - a.x_{1}-b.y_{1}$
Mà H có tọa độ (x1; y1) thuộc đường thẳng $Delta$, nên thay tọa độ điểm H vào có: $-a.x_{1}-b.y_{1}=c$
Vậy $overrightarrow{n}.overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c$
c. Theo a và b ta có:
$left | overrightarrow{n}.overrightarrow{HM} right |= sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM = |x_{0}+by_{0}+c|$
Suy ra: HM = $frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Trải nghiệm: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Delta$ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.
Hướng dẫn giải:
- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng $Delta$ là độ dài đoan MH bằng 2 đơn vị độ dài.
- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng $Delta$ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.
Luyện tập 5: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $Delta :left{begin{matrix}x=5+3ty=-5-4tend{matrix}right.$
Hướng dẫn giải:
- Đường thẳng $Delta$ qua điểm A(5; -5) và có vecto pháp tuyến là: $overrightarrow{n}(4; 3)$
Phương trình tham số của $Delta$ là: 4(x -5) + 3(y +5) = 0 Hay 4x + 3y -5 =0.
- Áp dụng công thức khoảng cách từ M đến $Delta$ là: $d(M;Delta )=frac{|4.1+3.2-5|}{sqrt{4^{2}+3^{2}}}=1$
Vậy khoảng cách từ M đến $Delta$ là 1.
Vận dụng: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.
a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
Hướng dẫn giải:
a.
- Tọa độ các điểm: A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6)
- Đường thẳng EF có vecto chỉ phương $overrightarrow{EF}(10; -6)$
Chọn vecto pháp tuyến là: $overrightarrow{n}(3; 5)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 3(x - 5) + 5(y - 12) = 0 Hay 3x + 5y - 75 = 0.
b. Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.
Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là: $d(B; EF )=frac{|3.0+5.0-75|}{sqrt{3^{2}+5^{2}}}approx 12,9$ >10,7
Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.
