Lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương 3
A. Lý thuyết
1. Hệ tọa độ trong không gian
1.1. Tọa độ của điểm và của vecto
1.1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→; j→ ; k→ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì i→; j→ ; k→ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: i→2 = j→2 = k→2 = 1 và i→ . j→ = j→. k→ = k→ . i→ =0
1.1.2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i→; j→; k→ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: OM→ = x.i→+ y. j→ +z. k→
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức OM→ = x.i→ + y. j→ + z.k→
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).
1.1.3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto a→, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho a→ = a1.i→ + a2. j→ + a3. k→
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto a→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a→(a1; a2 ; a3) hoặc a→(a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto OM→
Ta có: M(x; y; z)⇔OM→ (x; y; z)
1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
Ví dụ 1.
Lời giải:
- Hệ quả:
a) Cho hai vecto a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2; b3), ta có:
a→=b→ ⇔ a1=b1a2=b2a3=b3
b) Vecto 0→ có tọa độ ( 0; 0; 0).
c) Với b→ ≠0→ thì hai vecto a→; b→ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
⇔a→=kb→ (k∈ℝ)
⇔ a1=kb1a2=kb2a3=kb3 ⇔a1b1=a2b2=a3b3,(b1, b2, b3≠0)
Ví dụ 2. Cho u→ (2m; 3; −1); v→ (4; 3; n−2). Tìm m và n để u→ = v→
Lời giải:
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
Lời giải:
a) Ta thấy 2−4 = 3−6 ≠714
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
b) Ta thấy: b→ = −3a→ nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
a) Tính AB→ ;
b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
1.3. Tích vô hướng.
1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2; b3)được xác định bởi công thức: a→.b→=a1.b1+a2.b2+a3.b3
Ví dụ 5. Cho a→ (1;−3;4); b→ (1;2;1). Tính a→. b→ ?
Lời giải:
Ta có: a→. b→ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
1.3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto.
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)
và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto AB→. Do đó, ta có:
c) Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3) với a→; b→ ≠0→ thì
Từ đó, suy ra a→⊥b→ ⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
a) Tính AB; AC
b) Tính cosin của góc A.
Lời giải:
1.4. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 - r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 - D > 0 là
phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r= A2 + B2+ C2−D
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 1 = 0;
b) x2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
2. Phương trình mặt phẳng
2.1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
2.1.1. Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto n→ ≠0→ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được n→ gọi là vecto pháp tuyến của (α)
2.1.2. Chú ý. Nếu n→ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn→ (k ≠0) cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
2.1.3. Tích có hướng của hai vectơ
- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→=(a1;a2;a3), b→=(b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là a→,b→, được xác định bởi
- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).
Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
2.2.1. Định nghĩa.
- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Nhận xét.
a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là n→ ( A; B; C).
b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ n→ ( A; B; C) khác 0→ là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y - y0) + C(z - z0) = 0.
Ví dụ 9. Mặt phẳng 2x - y + 3z - 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là n→(2; -1; 3).
Ví dụ 10. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)
Lời giải:
2.2.2. Các trường hợp riêng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.
a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.
b)
- Nếu A=0,B≠0,C≠0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.
- Nếu A≠0,B=0,C≠0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.
- Nếu A≠0,B≠0,C=0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.
c)
- Nếu A = B = 0; C ≠0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).
- Nếu A = C = 0; B ≠0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).
- Nếu B = C = 0; A ≠0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).
- Nhận xét:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn α:xa+yb+zc=1. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với abc≠0.
Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là: x2 + y3 + z1 =1
2.3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:
(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: n1→ (A;1 B1; C1); n2→ (A;2 B2; C2)
2.3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
- Chú ý: Để (α) cắt (β)⇔n1→ ≠ k.n2→⇔(A1; B1;C1)≠k(A2; B2;C2)
Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x - y + 2z - 1 = 0.
Lời giải:
Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x - y + 2z - 1 = 0 nên nα→ =(1;−1;2)
Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:
1( x - 2) - 1(y - 1) + 2( z - 2) = 0 hay x - y + 2z - 5 = 0.
2.3.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
(α) ⊥ (β) ⇔n1→ ⊥n2→⇔A1A2+ B1B2+ C1C2 =0
Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x - y + 2z - 1 = 0
Lời giải:
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là:
2.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .
Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:
Ví dụ 14. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 1 = 0.
Lời giải:
Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:
Ví dụ 15. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x - 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x - 2y + 2z - 7= 0.
Lời giải:
Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).
Ta có: d((P); (Q))=d(A;(Q))=−3−2.0+2.0 −712+(−2)2+ 22=103
3. Phương trình đường thẳng trong không gian.
3.1. Phương trình tham số của đường thẳng
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a →=a1;a2;a3 làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: x=x0+a1ty=y0+a2tz=z0+a2t
- Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a →=a1;a2;a3 làm vectơ chỉ phương là x=x0+a1ty=y0+a2tz=z0+a2t
Trong đó, t là tham số.
- Chú ý:
Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:
x−x0a1=y−y0a2=z−z0a3
Ví dụ 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là u→ (1;2;−1)
Lời giải:
Phương trình tham số của ∆ là: x= 1+ty=2 +2tz= 2 −t
Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).
Lời giải:
Đường thẳng AB nhận AB→ (2;1;−1) làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của AB là: x= 2ty=1+tz= 2 −t
3.2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.
3.2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.
Gọi a→ = (a1; a2; a3);a'→ = (a'1; a'2; a'3) lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.
Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.
Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi a→ = k.a'→M ∉d'
Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: a→ = k.a'→M ∈d'
Ví dụ 18. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:
d:x= 3+2ty= 2−3tz= 2+t; d':x= 1−4ty= 2+6tz= −2t
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→ (2;−3;1) đi qua M(3; 2; 2).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là v→ (−4; 6;−2)
Ta thấy: v→ =−2u→; M∉d'
Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.
3.2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:
x0+ ta1= x'0+ t'.a'1 y0+ ta2= y'0+ t'.a'2 z0+ ta3= z'0+ t'.a'3 (I)
Có đúng một nghiệm.
- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.
Ví dụ 19. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d: x= 3+ty= 2−tz= 2+t; d': x= 3−t'y= 2+t'z= 3
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
3+ t=3−t'2−t=2+ t'2+t =3 ⇔t=−t't=−t't=1 ⇔t=1; t'=−1
Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).
3.2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi a→; a'→ không cùng phương và hệ phương trình x0+ ta1= x'0+ t'.a'1 y0+ ta2= y'0+ t'.a'2 z0+ ta3= z'0+ t'.a'3 vô nghiệm.
Ví dụ 20. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
d: x= 3+ty= 2−3tz= 2+t; d': x= 1−4t'y= 2+6t'z= −2t'
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương a→ (1;−3;1)
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là a'→ (−4; 6;−2)
Ta thấy, không tồn tại số thực k để a→=k a'→ nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
3+ t= 1−4t' (1)2−3t =2+ 6t' (2)2+ t = −2t' (3)(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
- Nhận xét:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: x=x0+a1ty=y0+a2tz=z0+a2t
Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.
Vậy d// (P).
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm
M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).
Ví dụ 21. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:x= 1+2ty=−tz= −2+ t và mặt phẳng (P): 2x - y - z = 0.
Lời giải:Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:
2(1+ 2t) - (- t) - (-2+ t) = 0
⇔2 + 4t + t + 2 - t = 0
⇔4t + 4 = 0⇔t = - 1.
Suy ra, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).
B. Bài tập tự luyện
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài 1.
Lời giải:
Bài 2. Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
Lời giải:
Bài 3. Cho các vecto a→ (1;2;−3); b→ ( 2;0;3); c→ (−1;2;1)
Tính a→. b→; b→. c→
Lời giải:
a→. b→= 1.2+ 2.0 +(−3).3= −7 b→. c→ = 2.(−1)+ 0.2+3.1= 1
Bài 4. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:
a) x2 + y2 + z2 + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;
b) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 4x - 8y + 12z + 2 = 0.
Lời giải:
Bài 5. Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:
a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);
b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0)
Lời giải:
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:
a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận n→(2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến.
b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3).
c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1)
Lời giải:
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
2(x - 0) + 1(y - 1) + 1.(z - 2) = 0 hay 2x + y + z - 3 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
3(x - 1) + 2(y -1) - 1(z - 2) = 0 hay 3x + 2y - z - 3 = 0
Bài 7. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:
a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0
b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z - 3 = 0.
Lời giải:
a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: nP→ =( 1;−2;1)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
1( x - 2) - 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0 hay x - 2y + z - 1 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
4( x - 1) - 3( y -2) - 8(z - 0) = 0 hay 4x - 3y - 8z + 2 = 0.
Bài 8. Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:
a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z - 1 = 0;
b) Mặt phẳng (Q): x + z - 4 = 0
c) Mặt phẳng (H): x - 6 = 0.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:
Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:
a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) và B(1; 1; 1).
b) Đi qua A( -2; 1; 1) và song song với đường thẳng x= 1+2ty=−tz= −2+ t
c) Đi qua M(0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y - z + 3 = 0.
Lời giải:
a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 0; 1) và nhận vecto AB→ (3; 1; 0) làm vecto chỉ phương nên có phương trình: x= −2+3ty=tz= 1
b) Đường thẳng đã cho có vecto chỉ phương là a→ (2 ; −1; 1).
Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng đã cho nên vecto chỉ phương của d là a→ (2 ; −1; 1)
Phương trình tham số của d là x= −2+2ty=1−tz= 1 + t
c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: n→(1;2;−1)
Vì d vuông góc với (P) nên vecto chỉ phương của d là n→(1;2;−1)
Phương trình tham số của d là x = ty=−2+ 2tz= 1 − t
Bài 10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
Lời giải:
a) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là: a→ ( 2; −1; 1) ; a'→ ( 1;1;1)
Không tồn tại số thực k để a→ = k. a'→ nên hai đường thẳng trên sẽ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: −2+2t=2+t' (1)1−t=t' (2) 1 + t =3+t' (3)(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t= 53; t' = −23
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho chéo nhau.
b) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là: a→ ( 2; −2; 4) ; a'→ ( 1;−1; 2)
Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1;1)
Ta thấy: a→ = 2. a'→ và điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.
Bài 11. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:
Lời giải:
Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu 1. Cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm tam giác ABC với A2;1;3,B2;2;1. Chọn kết luận đúng về điểm C.
A. C∈Oy
B. C∈Oxz
C. C∈Oz
D. C∈Oyz
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ O;i→;j→;k→, cho hai vec tơ a→=2;−1;4,b→=i→−3k→.Tính
A. a→.b→=−11
B. a→.b→=−13
C. a→.b→=5
D. a→.b→=−10
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x=1y=2+3tz=5−tt∈R. Véc tơ nào dưới đây là vec tơ chỉ phương của d?
A. u1→=0;3;−1
B. u2→=1;3;−1
C. u3→=1;−3;−1
D. u4→=1;2;5
Câu 4. Cho hai vec tơ u→−2;3;1 và v→=1;1;1. Khi đó số thực m=u→.v→ thỏa mãn:
A. m=0
B. m∈0;2
C. m∈−2;0
D. m∈1;3
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM→=2i→+j→. Tọa độ điểm M là:
A. M1;2;0
B. M2;1;0
C. M2;0;1
D. M0;2;1
Câu 6. Hình chiếu của điểm M1;−1;0 lên trục Oz là:
A. N−1;−1;0
B. N1;−1;0
C. N−1;1;0
D. N0;0;0
Câu 7. Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A1;3;−2 và song song với mặt phẳng P:2x−y+3z+4=0 là:
A. 2x−y+3z+7=0
B. 2x+y−3z+7=0
C. 2x+y+3z+7=0
D. 2x−y+3z−7=0
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ:x1=y1=z2 vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. P:x+y+z=0
B. β:x+y−z=0
C. α:x+y+2z=0
D. Q:x+y−2z=0
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho điểm A2;−3;5. Tọa độ điểm A’ là đối xứng của điểm A qua trục Oz là:
A. 2;3;5
B. 2;−3;−5
C. −2;3;5
D. −2;−3;5
Câu 10. Điểm M∈Oxy thì tọa độ điểm M là:
A. Mx;y;0
B. M0;x;y
C. M0;0;z
D. M0;0;1
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Mặt cầu
Lý thuyết Ôn tập chương 2
Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng
Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian
