Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ({mathbb{N}^*})được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

(u:{mathbb{N}^*} to mathbb{R})

(n mapsto {u_n} = uleft( n right))

Dãy số trên được kí hiệu là (left( {{u_n}} right)).

- Dãy số (left( {{u_n}} right))được viết dưới dạng khai triển ({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...)

- Số ({u_1}) là số hạng đầu; ({u_n})là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu (forall n in {mathbb{N}^*},{u_n} = c)thì (left( {{u_n}} right))được gọi là dãy số không đổi.

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập (M = left{ {1;2;3;...;m} right},m in {mathbb{N}^*}) được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là ({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}).

Trong đó, số ({u_1}) gọi là số hạng đầu, ({u_m})là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

• Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
• Công thức của số hạng tổng quát ({u_n}).
• Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất ({u_1}) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính ({u_n}) theo({u_{n - 1}}) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

• Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là dãy số tăng nếu ta có ({u_{n + 1}} > {u_n})(,forall n in {mathbb{N}^*}).
• Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là dãy số giảm nếu ta có ({u_{n + 1}} < {u_n})(,forall n in {mathbb{N}^*}).

4. Dãy số bị chặn

• Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn trên nếu (exists ) số M sao cho ({u_n} le M,) (forall n in {mathbb{N}^*}).
• Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn dưới nếu (exists ) số m sao cho ({u_n} ge m,) (forall n in {mathbb{N}^*}).
• Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho (m le {u_n} le M,)(forall n in {mathbb{N}^*}).