I. Các kiến thức cần nhớ
1. Tỉ lệ thức
Ví dụ: (dfrac{{28}}{{24}} = dfrac{7}{6};)(dfrac{3}{{10}} = dfrac{{2,1}}{7})
Ví dụ: Ta có (dfrac{3}{6} = dfrac{9}{{18}} Rightarrow 3.18 = 9.6left( { = 54} right))
Vì (4.9 = 3.12(=36)) nên ta có các tỉ lệ thức sau: (dfrac{4}{3} = dfrac{{12}}{9};,dfrac{3}{4} = dfrac{9}{{12}};dfrac{4}{{12}} = dfrac{3}{9};dfrac{{12}}{4} = dfrac{9}{3})
Chú ý:
Khi nói các số (x,,y,,z) tỉ lệ với các số (a,,b,,c) tức là ta có (dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = dfrac{z}{c}). Ta cũng viết (x:y:z = a:b:c)
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước
Phương pháp:
Ta sử dụng: Nếu (a.d = b.c) thì
(dfrac{a}{b} = dfrac{c}{d}); (dfrac{a}{c} = dfrac{b}{d}); (dfrac{d}{b} = dfrac{c}{a};) (dfrac{d}{c} = dfrac{b}{a}.)
Dạng 2: Tìm x, y
Phương pháp:
Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Nếu (dfrac{a}{b} = dfrac{c}{d}) thì (a.d = b.c)
Trong một tỉ lệ thức ta có thể tìm một số hạng chưa biết khi biết ba số hạng còn lại.
(dfrac{a}{b} = dfrac{c}{d} Rightarrow a = dfrac{{bc}}{d};,b = dfrac{{ad}}{c};)(c = dfrac{{ad}}{b};,d = dfrac{{bc}}{a}) .
Ví dụ: Tìm x biết (dfrac{x}{2} = dfrac{8}{6})
Ta có:
(begin{array}{l}dfrac{x}{2} = dfrac{8}{6}Rightarrow x.6 = 8.2Rightarrow x = dfrac{{16}}{6}Rightarrow x = dfrac{8}{3}end{array})
Dạng 3: Chứng minh các tỉ lệ thức
Phương pháp:
Dựa vào các tính chất của tỉ lệ thức và biến đổi linh hoạt để chứng minh.
Dạng 4: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.
Phương pháp giải:
* Để tìm hai số (x;y) khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b}) ta làm như sau
Ta có (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b} Rightarrow dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b})
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
(dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = dfrac{{x + y}}{{a + b}} = dfrac{s}{{a + b}})
Từ đó (x = dfrac{s}{{a + b}}.a;,y = dfrac{s}{{a + b}}.b) .
* Để tìm hai số (x;y) khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b}) ta làm như sau
Ta có (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b})( Rightarrow dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b})
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
(dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = dfrac{{x - y}}{{a - b}} = dfrac{p}{{a - b}})
Từ đó (x = dfrac{p}{{a - b}}.a;)(y = dfrac{p}{{a - b}}.b) .
Ví dụ: Tìm hai số (x;y) biết (frac{x}{3} = frac{y}{5}) và (x + y = - 32)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(frac{x}{3} = frac{y}{5} = frac{{x + y}}{{3 + 5}} = frac{{ - 32}}{8} = - 4)
Do đó (frac{x}{3} = - 4 Rightarrow x = (-4).3 = - 12) và (frac{y}{5} = - 4 Rightarrow y = (-4).5 = - 20.)
Vậy (x = - 12;y = - 20.)
Dạng 5: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Phương pháp:
Giả sử chia số (P) thành ba phần (x,,y,,z) tỉ lệ với các số (a,b,c), ta làm như sau:
(dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = dfrac{z}{c} = dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = dfrac{P}{{a + b + c}})
Từ đó (x = dfrac{P}{{a + b + c}}.a;,y = dfrac{P}{{a + b + c}}.b); (z = dfrac{P}{{a + b + c}}.c).
Dạng 6: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp:
Tìm hai số (x;,y) biết $x.y = P$ và (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b})
Cách 1: Ta có (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b} Rightarrow dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b})
Đặt (dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = k) ta có (x = ka;,y = kb)
Nên (x.y = ka.kb = {k^2}ab = P )(Rightarrow {k^2} = dfrac{P}{{ab}})
Từ đó tìm được (k) sau đó tìm được (x,y).
Cách 2: Ta có (dfrac{x}{y} = dfrac{a}{b})( Rightarrow dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = dfrac{a}{b}) hay (dfrac{{{x^2}}}{P} = dfrac{a}{b} )(Rightarrow {x^2} = dfrac{{Pa}}{b}) từ đó tìm được (x) và (y.)
Dạng 7: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Dạng 8: Bài toán về tỉ lệ thức
Phương pháp:
+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài
+ Lập được tỉ lệ thức
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.
